Para demostrarlo, después de haber comprobado que la superficie que todo plano que pasa por un punto dado corta en una circunferencia es necesariamente una esfera con centro en dicho punto, acepta, por reducción al absurdo, que hay un plano que pasa por el centro O de la tierra que corta la superficie libre del fluido según una curva ABCD que no sea una circunferencia, es decir que tenga puntos que disten más que otros del punto O (fig. 1). Por tanto, una circunferencia EBCF cuyo radio OB sea de una longitud intermedia dejará parte del fluido dentro y parte afuera. Trácese el radio OG de modo tal que el ángulo sea igual al y sea H su intersección con la superficie fluida. Descrito un arco PQR con centro en O, que quede todo dentro del fluido, siendo que sobre PQ hay más altura de fluido que sobre QR (con lo cual por la parte b) del postulado, PQ recibe más presión que QR, según la parte a), PQ debe poner en movimiento a QR. Luego no puede haber reposo, contrariamente a lo supuesto. Esta demostración, valida para todo plano que, pasando por O, corte la superficie libre, comprueba que todas las intersecciones resultantes han de ser circunferencias; por tanto, dicha superficie es esférica y tiene el mismo centro que la tierra.
Arquímedes pasa luego a demostrar que un sólido cuya densidad sea la misma que la de cierto fluido en reposo, si se coloca dentro de este, queda inmóvil. Primero comprueba que el sólido no va a sobresalir de la superficie de la superficie del fluido. Con referencia a la fig. 2, supóngase en efecto, por reducción al absurdo, que el cuerpo EFGH se eleve hasta sobresalir, con su parte EFCB por encima de la superficie libre esférica ABCD. Sea LOM un cono que encierra al sólido, y MON otro contiguo igual. Delimitemos dentro de este último el volumen STVU, igual e igualmente ubicado que la parte sumergida BCHG del sólido, siendo las mismas por hipótesis también sus densidades. Trazada más abajo una superficie esférica PQR con centro en O, PQ recibirá una presión mayor que la que recibe QR, y tendrá por tanto que poner en movimiento a QR, contrariamente a la hipótesis de que el fluido está en reposo. Con esto se comprueba que el sólido no va a emerger. De hecho tampoco podrá hundirse más porque, al no cambiar su presencia la distribución estática de presiones, no puede crearse movimiento en el fluido.
Considerando después un sólido más ligero que el fluido, Arquímedes demuestra que no puede sumergirse completamente, pues debe sobresalir de tal forma que el peso del fluido que resulte desplazado sea igual al peso de todo el sólido. La emersión resulta del hecho de que (fig. 3), si S es el sólido sumergido y K un volumen igual y simétricamente colocado de fluido, la presión sobre PQ sería menor que la que se ejerce sobre QR, con la consiguiente inestabilidad. Considerando luego nuevamente la fig. 2, si STUV es un volumen de fluido igual y simétrico a la parte sumergida BCHG del sólido, debiendo ser iguales las presiones sobre PQ y QR, el peso de STUV tiene que ser igual al de EFHG o sea al que corresponde a todo el sólido.
El siguiente paso consiste en comprobar que si un sólido más ligero que el fluido se sujeta manteniéndolo sumergido, resulta un empuje hacia arriba igual a la diferencia entre el peso del fluido desplazado y el del sólido mismo. En efecto, sean (fig. 4) A el sólido, BC la superficie del fluido y D otro cuerpo que, sobrepuesto a A, lo mantenga sumergido. Sean G y H, respectivamente los pesos de A y D. Por la proposición anterior, el peso del fluido desplazado por A debe ser G + H, mientras que el empuje hacia arriba experimentado por A es igual al peso de H de D, o sea a (G + H) – G, es decir, al peso del fluido desplazado menos el de A.
Finalmente, un sólido más pesado que el fluido se sumerge en él hasta alcanzar el fondo, mientras el fluido que se halla por debajo está sujeto a una presión mayor que el resto; por tanto, tiene que ir desplazando las partes laterales y abrir así paso al sólido hasta que descanse en el fondo. Por otro lado, si dicho sólido se pesa manteniéndolo sumergido, su peso resultará reducido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado. Esta última proposición, que es justamente lo que llamamos principio de Arquímedes, se demuestra con base en la idea siguiente. Sean A y B dos cuerpos, el primero más pesado y el segundo menos pesado que el fluido, tales que el peso total de A sea igual al del fluido desplazado por B, y viceversa. Si los unimos y así unidos los sumergimos, el cuerpo resultante quedará estacionario, lo que implica que la fuerza que tiende a sumergir A será igual a la que tiende a elevar B. Ahora sea G el peso de A, así como del fluido desplazado por B, y H el peso de B y también del fluido desplazado por A. La fuerza que tiende a levantar B será, por la proposición anterior, G – H; por tanto, también la fuerza que tiende a sumergir A será G – H, o sea, el peso del cuerpo A menos el del fluido desplazado por él.
