EL BARCO DE ARQUÍMEDES

Plutarco había comentado, hablando de los escritos de Arquímedes, que no es posible hallar en geometría cuestiones más difíciles y enredadas, ni explicaciones más sencillas y claras. Lo que acabamos de sintetizar ofrece una muestra de ello, sobre todo si lo comparamos con la presentación de los mismos temas, conceptualmente bastante más complicada, que suelen ofrecer nuestros textos de física.

Pero Arquímedes no solo era el más grande matemático de la antigüedad; era también un ingeniero extraordinario, aunque, con mentalidad típicamente griega, no creía decoroso escribir acerca de inventos mecánicos. Esto, sin embargo, fueron los que más fama le dieron en su tiempo y, gracias a las narraciones de los historiadores, también ante la posteridad. En ocasión del sitio que los romanos establecieron alrededor de Siracusa, Arquímedes, ya anciano, idearía tantos y tan espantosos artefactos que, según recuerda Plutarco al relatar la vida de Marcelo (el general enemigo), los soldados romanos habían llegado a tal grado de nerviosismo que “si tan solo veían un pedazo de cuerda o de madera salir por encima de la muralla (de la ciudad), comenzaban a gritar: ¡helo de nuevo aquí!, y creyendo que Arquímedes estaba poniendo en movimiento algún nuevo mecanismo bélico, daban media vuelta y huían; así que Marcelo desistió de todo asalto o combate, confiando toda su esperanza en un sitio prolongado”.

Mucho antes de estos acontecimientos, se le ocurrió al rey Hierón construirse un barco de recreo que debía poseer todos los últimos adelantos de la ciencia náutica. Tenía medio estadio (o sea 122 metros) de eslora, pesaba mil toneladas y podía cargar cerca de cuatro mil. Iba tripulado por seiscientos remeros, divididos en veinte grupos, y podía llevar otras trescientas personas más. Poseía gimnasio, alberca, jardín y sesenta camarotes, todo decorado con mármol, mosaicos, marfil y maderas preciosas. Además el navío tenía que protegerse de ataques enemigos, por lo que debía contar con artefactos capaces de arrojar grandes piedras 8; para esto, el rey acudió como siempre a Arquímedes, quien no solo afrontó la dificultad de diseñarlos, sino también de asegurarse que, siendo muy pesados y debiendo colocarse sobre cubierta, no fueran a desequilibrar el barco.

Ya al final del primer libro De los cuerpos flotantes, Arquímedes se preocupa por un problema de equilibrio naval. Una esfera flotante está en equilibrio cualquiera que sea su posición; pero no será lo mismo para un segmento esférico ( es decir, una esfera de la cual se haya cortado una rebanada). Sea pues (fig. 5) ABD el segmento esfera flotante. Teniendo en cuenta que su centro de gravedad C –siendo el cuerpo homogéneo – ha de estar sobre el eje de simetría DE, Arquímedes demuestra que, para alcanzar el equilibrio, el segmento de esfera tiene que girar hasta que DE se disponga según la dirección vertical OF. Comprueba que este resultado vale para ya sea que la base AB del segmento esté afuera o adentro del fluido.

En el segundo libro, Arquímedes escoge una figura geométrica cuya forma se parezca más a la del barco: un segmento recto de paraboloide de revolución (fig. 6). Si una parábola tiene por ecuación  , p se llama parámetro de la parábola misma y mide el cuádruple de la distancia del vértice al foco. Arquímedes halla que la relación entre la longitud h del eje ED del segmento de paraboloide y el parámetro p es esencial para establecer la condición de equilibrio. Con una serie de diez proposiciones cuyas demostraciones, sumamente elegantes, no son difíciles de seguir para quien tenga familiaridad con las propiedades elementales de la parábola, sus subtangentes y subnormales y de sus diámetros, Arquímedes analiza catorce casos distintos. El primero, representado en la fig. 6, supone la base AB fuera del agua y h/p ≤ ¾; lo cual, siendo que el centro de gravedad del segmento de paraboloide está ubicado sobre el eje DE en el punto  tal que DC = 2h/3, implica que DC ≤  p/2.  A partir de allí y realizando varias construcciones geométricas, Arquímedes deduce finalmente que es condición para el equilibrio que el eje se ponga vertical. Lo mismo resulta para el caso donde el mencionado paraboloide tenga la base sumergida. La mayoría de los otros casos, correspondientes a otras limitaciones para h/p, se complica por que hay que tener en cuenta también la razón entre las densidades del sólido y del fluido. Aquí aparecen también otras condiciones de equilibrio, como que el eje tenga cierta inclinación, o condiciones de desequilibrio, por ejemplo: que la base tenga contacto en un punto con la superficie libre del fluido. Discusión minuciosa y exhaustiva, verdadera obra de arte de análisis geométrico.

La intención de Hierión al construir el barco había sido dedicarlo a realizar un servicio regular entre Siracusa y Alejandría. Pero, como resultó demasiado grande para los muelles siracusanos y su costo de manutención era exagerado, finalmente lo llenó de trigo y pescado, y lo envío como regalo a Ptolomeo Filadelfo, rey de Egipto, en un momento en que dicho país, afligido por una de sus periódicas sequías, tenía escasez de alimentos.⁹

Cerca de 1850 median entre Arquímedes y la época de Galileo. En el transcurso de estos, las matemáticas solo tuvieron alguna evolución con el álgebra; y, si exceptuamos las observaciones y experimentos de otro genio solitario, Leonardo da Vinci, se puede decir que la hidráulica no avanzó nada. Curiosamente el primer progreso en esta ciencia lo realizó Evangelista Torricelli, considerado en su tiempo como matemático sobresaliente por haber conseguido continuar y perfeccionar la obra geométrica de Arquímedes; pero cuya fama también sobrevive esencialmente gracias a su interpretación genial del movimiento de los chorros líquidos, misma que en la edición completa de sus obras publicadas en Faenza –su ciudad natal- en 1919 ocupa apenas 13 páginas,10 contra las 821 que llenan sus trabajos de geometría.

 FAENZA, ITALIA.

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